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Funktionenpaar
cos(πx/2) · sin(πx/2) auf [0, 4] — orthogonal, ⟨f,g⟩ = 0
cos(πx) · cos(2πx) auf [0, 2] — orthogonal, ⟨f,g⟩ = 0
cos(πx) · cos(πx) auf [0, 2] — ‖f‖² = 1
x · x² auf [−1, 1] — orthogonal (ungerade × gerade), ⟨f,g⟩ = 0
x · x² auf [0, 1] — nicht-orthogonal, ⟨f,g⟩ = 1/4
Stützpunkte: N =
3
| Δx =
—
3
500
3
5
10
20
50
100
200
500
Mittelpunkte:
x
i
= a + (i − ½)·Δx
Δx-Gewichtung
Mit Δx → Summe konvergiert
Numerische Auswertung
N
—
Δx = (b − a) / N
—
Σ f(x
i
)g(x
i
)·Δx
—
∫
a
b
f(x)g(x) dx (exakt)
—
|gew. Summe − Integral|
—
⚠ Ohne Δx skaliert das rohe Skalarprodukt Σ f(x
i
)g(x
i
) mit N und
konvergiert nicht
. Der Faktor Δx macht aus der Summe eine Riemann-Approximation — jeder Term wird mit der Breite seines Teilintervalls gewichtet.